RADIÁN

Es una unidad de ángulo en el plano en el Sistema Internacional de Unidades. El radián mide el ángulo presentado como central a una circunferencia y su medida es igual a la razón entre la longitud del arco que comprende de dicha circunferencia y la longitud del radio, es decir, mide la cantidad de veces que la longitud del radio cabe en dicho arco.

180° (grado sexagesimal) = π rad ( radián ) = π

Rad = longitud del arco : radio

360° = 2π

Semicircunferencia = πR : R = π

Ejercicios:

RAZONES MAS DE 90°

Los ángulos que cortan en (1, 0) son 0º y los ángulos completos como 360º, 720º...

En el (0, 1) corta 90º, en el (-1, 0) 180º y en el (0, -1) 270º.

Los ángulos que cortan en (1, 0) son 0º y los ángulos completos como 360º, 720º...
En el (0, 1) corta 90º, en el (-1, 0) 180º y en el (0, -1) 270º.

Cos 0°=1

Sen180°=0

   Tg270°

  

Cos720°

Cons210°

Tg315°

Sen315°

DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES 30° 45° 60°

Para hallar las razones de un ángulo de 45° 

Sabemos que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°. Por tanto si un triángulo rectángulo tienen un ángulo de 45° obligatoriamente tendrá dos. Y si un triángulo tiene dos ángulos iguales entonces debe tener iguales también los lados opuestos a esos ángulos. Partiremos pues de un triángulo rectángulo isósceles y para simplificar los cálculos podemos elegir aquel cuyos catetos miden la unidad.

Razones trigonométricas del ángulo de 60°

Para hallar las razones del ángulo de 60° debemos partir de un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de esa medida. Podemos construir un triángulo así de una forma muy sencilla de recordar. Partimos de un triángulo equilátero, que como sabemos tienen tres ángulos de 60°.Trazamos una altura y consideramos uno de los dos triángulos rectángulos en los que queda dividido. Como en un triángulo equilátero las alturas y las mediatrices coinciden, la altura cae sobre el punto medio del lado y así un cateto mide exactamente la mitad de la hipotenusa. Como además la altura también coincide con la bisectriz, el ángulo quedará también dividido en dos partes iguales. Y así, tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo de 60 y otro de 30 que nos servirá para hallar las razones trigonométricas de los dos ángulos. Para que los cálculos sean fáciles tomaremos como hipotenusa 2 unidades y así el cateto contiguo al ángulo de 60° medirá 1.

Razones trigonométricas del ángulo de 30°

Para hallar las razones trigonométricas del ángulo de 30º partiremos del mismo triángulo rectángulo usado para el ángulo de 60°. Sólo hay que tener en cuenta que el cateto opuesto al ángulo de 60 es el contiguo al ángulo de 30 y el cateto contiguo al ángulo de 60 es el opuesto al de 30. La hipotenusa es la misma para los dos ángulos. Con esto, sólo quedan hacer los cálculos y las simplificaciones correspondientes.

Eratóstenes

Fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría.

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la tierra

Eratóstenes y la medición de la esfera terrestre

Fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría.

Eratóstenes nació en Cyrene (Libia) en el año 276 a.C. Trabajó con problemas de matemáticas, como la duplicación del cubo y números primos. Escribió muchos libros de los cuales sólo se tienen noticias por referencias bibliográficas de otros autores.

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la tierra. Eratóstenes en sus estudios de los papiros de la biblioteca de Alejandría, encontró un informe de observaciones en Siena, unos 800 Km. al sureste de Alejandría, en el que se decía que los rayos solares al caer sobre una vara el mediodía del solsticio de verano (el actual 21 de junio) no producía sombra.

Eratóstenes entonces realizó las mismas observaciones en Alejandría el mismo día a la misma hora, descubriendo que la luz del Sol incidía verticalmente en un pozo de agua el mismo día a la misma hora. Asumió de manera correcta que, si el Sol se encontraba a gran distancia, sus rayos al alcanzar la tierra debían llegar en forma paralela, si esta era plana como se creía en aquellas épocas, y no se deberían encontrar diferencias entre las sombras proyectadas por los objetos a la misma hora del mismo día, independientemente de donde se encontraran.

TRIGONOMETRÍA

Es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.
la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

1. La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
2. El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
3. El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.