SISTEMA DE ECUACIONES

1. Método de Sustitución

El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.

Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.

EJEMPLO 1 

 

La solución del sistema es: 

2. Método de Reducción

El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son iguales pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).

Ejemplo 2

La solución del sistema es

3. Método de Igualación

El método de igualación consiste en aislar una incógnita en las dos ecuaciones para igualarlas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita es fácil de aislar en ambas ecuaciones.

La solución del sistema es

Sistemas Equivalentes

definición

Los sistemas equivalentes son aquellos que tienen la mismas soluciones aunque no tengan número de ecuaciones.

criterios de equivalencia

CRITERIO 1

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un número distinto de 0, resultado otro sistema equivalente al lado.

CRITERIO 2

Si en un sistema sustituimos una ecuación por la suma de ella con una combinación lineal de otras resulta otro sistema equivalente al lado.

CRITERIO 3 

Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación combinada  lineal de otra, esta ecuación se puede suprimir el resultado un sistema equivalente al dado 

TIPOS DE ECUACIONES

Ecuaciones de primer grado o lineales
Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticasSon ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.

ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómicas son de la forma , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Ecuaciones polinómicas irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

ECUACIONES

Es una igualdad en la que como mínimo hay una incógnita y lo que se intenta saber es a que equivale esa incógnita a través de operaciones.

También hemos visto que las ecuaciones pueden tener muchas soluciones e incluso no tenerlas. También podemos decir que para ciertas ecuaciones, existen infinitas soluciones.

En tercer lugar, hemos visto que las ecuaciones se pueden solucionar de dos formas distintas.

SOLUCIÓN GRÁFICA

Dentro de este tipo, podemos distinguir dos ejemplos:

• Si la ecuación está igualada a cero, la solución está en el corte/cortes con el eje "X".
• Si hay una igualdad entre dos expresiones, la solución es la "X" del punto de corte de las gráficas que corresponden a esas expresiones.

SOLUCIÓN ANALÍTICA

Antes de comenzar a resolver cualquier ecuación por este método, debemos intentar sacar sus soluciones mediante el tanteo.

• En el caso de ecuaciones en las que no es fácil ver el número de soluciones hay que resolverlas por los procedimientos algebraicos (enseño algunos de ellos en entradas anteriores).
• Hemos de aprender que las ecuaciones se resuelven mediante los criterios de equivalencia.
• Dos ecuaciones son equivalentes, si ambas tienen las mismas soluciones.