Concepto de límite y el número e.

El concepto de límite requiere una explicación rigurosa y detallada.
Los límites se utilizan para saber a que punto se acerca x cuando se hace muy grande.





Para saber el límite de una función, se han de restar las incógnitas del numerador y el denominador del mayor exponente de la siguiente manera.




Luego, sustituimos la incógnita por infinito. En este caso hay un número multiplicando al infinito en el numerador, por lo que x tiende a infinito. El límite es infinito.

Gráfica de una función polinómica de grado 3

Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Máximos y mínimos absolutos

Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.

• El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio.
  
• El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio.
  

ÁREA DE UNA PÁRABOLA

Sumas de Riemann

Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático aleman Bernhard Riemann.
Es una operacion sobre una funcion continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.



Normalmente se nota como:






La integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la función.
Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir.

Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectánguli como indica la figura.




La idea fundamental es la de utilizar aproximaciones del área del dominio S. Determinando un área aproximada de la que estamos seguros de que son inferiores al área del dominio S, y buscaremos un área aproximada que sepamos que es mayor al área de S. Si estas aproximaciones pueden hacerse de forma que la diferencia entre ambas puede hacerse arbitrariamente pequeña, entonces podemos obtener el área del dominio S. Por lo tanto, el límite del área para infinitos rectángulos es el área comprendida debajo de la curva.

PARÁBOLAS:cuatro formas de calcular el vértice aplicadas a una parábola

El vértice de una parábola vertical V es el punto donde la párabolacorta a su eje.

La ecuación de la parábola  vertical se puede expresar de estas dos formas:

Desarrollando el cuadrado del segundo binomio:

De donde obtenemos el coeficiente b y, a partir de él, la ordenada del vértice x_V:

Sustituyendo la expresión de la ordenada del vértice x_V en la ecuación anterior, desarrollando y simplificando con el común denominador 4a, obtenemos:

El resultado lo vemos en la imagen:

RECTAS: Área que forma una recta con el eje de las x

Rectas paralelas a los ejes de coordenadas

1Rectas paralelas al eje OX

Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b 

se expresa mediante la ecuación: y = b

 

Ejemplo:

 

2Rectas paralelas al eje OY

Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) 

se expresa mediante la ecuación: x = a

 

Ejemplo:

 

Eje de coordenadas

Los puntos que pertenecen al eje OX tienen como característica 

que su segunda coordenada es 0, la ecuación del eje OX es y = 0.

Los puntos que pertenecen al eje OY tienen como característica 

que su primera coordenada es 0, la ecuación del eje OY es x = O.

RECTAS : PENDIENTES Y ORDENADA AL ORIGEN

¿Qué es la forma pendiente-ordenada al origen?

La forma pendiente-ordenada al origen es una forma específica de ecuaciones lineales en dos variables:

$y=\maroonC mx+\greenD b$y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54

Cuando una ecuación está escrita en esta forma, $\maroonC m$start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 da la pendiente de la recta y $\greenD b$start color #1fab54, b, end color #1fab54 da su intersección con el eje $y$y, u ordenada al origen.

En este vídeo lo explica bastante bien 

https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:forms-of-linear-equations/x2f8bb11595b61c86:intro-to-slope-intercept-form/v/slope-intercept-form 

DOMINIO FUNCIONES

Una función es una relación entre dos conjuntos, en la que a cada valor del primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del segundo, denominado recorrido. 

Dominio en funciones reales

Al igual que los dominios de los reyes de la antigüedad marcaban el alcance del poder y la autoridad de los mismos, en el mundo de las funciones, el dominio marca el conjunto de elementos sobre los cuales cada función puede actuar. En una función real de variable real tanto el dominio como el recorrido forman parte del conjunto de los números reales. Cada elemento del dominio se ilustra en la imagen por un punto negro sobre fondo verde, y cada elemento del recorrido como un punto negro sobre fondo azul. Las flechas indican la correspondencia entre unos y otros a través de la función.

El dominio de una función real, también llamado dominio de definición o campo de existencia de la misma, es el conjunto de elementos para los cuales la función está definida. Dicho de otra manera, el subconjunto de los números reales que tienen imagen. Formalmente:

Domf={ x∈R / ∃y=f(x)∈R }

• Domf : Es el dominio de la función. También se puede denotar por Dom(f) o, simplemente, D. Puede ser todo el conjunto de los números reales, o bien un subconjunto de este: Domf⊆R
• x : Es un número real, perteneciente al dominio de la función, que recibe el nombre de variable independiente
• y : Es otro número real, perteneciente al conjunto imagen de la función, que recibe el nombre de variable dependiente. Su valor se obtiene aplicando la función f al valor de x : y=f(x) . Para un par de valores concretos (x,y) decimos que y es la imagen de x, y que x es la antiimagen de y

FUNCIONES LINEALES

Funciones lineales

La función lineal es del tipo:

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Pendiente

 es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si  la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje  es agudo.

Si  la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje  es obtuso.

Función identidad

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.